Hasif Priyambudi Nothing Last Forever We Can Jump And Feeder #ProALUKERAD

Turunan Matematik: Contoh Soal, Aljabar, Trigonometri, Aplikasi, Materi Turunan

9 min read

turunan matematika

Turunan Matematik – Sebenarnya tanpa kita sadari konsep turunana matematika sering kita terapkan di dalam kehidupan sehari – hari. Baik itu diterapkan dalam ilmu matematika atau bahkan dalam ilmu yang lainnya. Konsep dari turunan ini sering kita gunakan dalam mencari garis singgung  suatu kurva atau pun fungsi dan kecepatan.

Tidak hanya itu saja, konsep dari turunan ini juga banyak diterapkan dalam berbagai bidang, contohnya seperti.

  • Laju pertumbuhan organisme (biologi)
  • Keuntungan marjinal (ekonomi)
  • Kepadatan kawat (fisika) laju pemissahaln (kimia).

Nah, untuk lebih jelasnya silahkan simak artikel dibawah ini.

 

Pengertian Turunan Matematika

Turunana atau yang bisa juga disebut sebagai Deriviatif adalah suatu pengukuran kepada bagaimana fungsi berubah seiring dengan perubahan dari nilai input. Secara umum, turunan akan menyatakan bagaimana sebuah besaran berubah dikarenakan adanya perubahan besaran yang lainnya.

Contohnya saja seperti turunan dari posisi suatu benda yang kemudian bergerak terhadap waktu merupakan kecepatan sesaat oleh objek tersebut. Proses dalam menemukan suatu disebut Diferensiasi. Serta kebalikan dari suatu turunan disebut Anti Turunan. Teorema atau pernyataan fundamental kalkulus menyebutkan jika antiturunana merupakan sama dengan integrasi.

Turunana dan juga integral adalah 2 (dua) buah fungsi penting yang ada di dalam kalkulus.

  • (in x)’
  • (sin x)’ = cos x
  • (cos x)’ = -sin x
  • (tan x) = sec2 x
  • y’ merupakan simbol untuk turunan pertama.
  • y” merupakan simbol untuk turunan kedua.
  • y”’ merupakan simbol untuk turunan ketiga.

Simbol lain selain simbol y` dan y“ adalah simbol turunan matematika

 

 

Pengertian Turunan Fungsi Matematika

Seperti yang sudah kita sebutkan di atas, turunan fungsi ata yang bisa disebut sebagai difrensial adalah suatu fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya. Contohnya saja seperti fungsi f menjadi f` yang memiliki nilai yang tidak beraturan.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari materi kalkulus dipikirkan pada waktu yang bersama oleh seorang Ilmuwan ahli matematika sekaligus juga ilmu Fisika yang berkebangsaan Inggris yang bernama Sir Isaac Newto (1642 – 1727). Serta oleh seorang ahli matematika yang berkebangsaan jerman yang bernama Gootfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

Turunan digunakan sebagai sebuah alat untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang dijumpai di dalam bidang geometri serta mekanika. Konsep turunan fungsi secara menyeluruh atau universal banyak sekali dimanfaatkan di dalam berbagai bidang keilmuan. Contohnya saja dalam bidang ekonim yang bisa digunakan untuk menghitung berupa biaya total atau pun total penerimaan.

Dalam bidang bilogi digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan organisme. Di bidang fisika digunakan untuk menghitung kepadatan kawat. Dalam bidang geografi dan sosiologi digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk, sedangkan dalam bidang kimia digunakan untuk menghitung laju pemisahan.

 

 

Aturan Menentukan Turunan Fungsi Matematika

Turunan bisa ditentukan tanpa adanya proses limit, untuk kebutuhan ini dirancang teorama atau pun pernyataan mengenai turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada 2 (dua) fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, serta juga turunan fungsi invers. Untuk lebih jelasnya silahkan simak pembahasan di bawah ini,

 

1. Turunan Dasar Matematika

Berikut ini adalah beberapa aturan dalam turunan fungsi, antara lain.

  • f(x), menjadi f'(x) = 0
  • Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
  • Aturan pangkat berlaku jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  • Aturan kelipatan konstanta berlaku jika (kf) (x) = k. f’(x)
  • Aturan rantai berlaku jika ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

 

2. Turunan Jumlah, Hasil Kali, Selisih, serta Hasil Bagi Dua Fungsi

Contohnya saja seperti fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan sebagai seperti dibawah ini.

  • ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
  • ( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)
  • (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
  • ((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)2)

 

3. Turunan Fungsi Invers

(f-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

 

 

Rumus Dasar Turunan dari Turunan Fungsi

Ada beberapa aturan yang ada di dalam turunan fungsi, antara lain.

  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat berlaku jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta berlaku jika (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai berlaku jika ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Rumus dasar dari turunan fungsi sangat pentung untuk kamu ingat. Hal itu dikarenkan rumus ini akan kamu pakai untuk menyelesaikan persoalan dari turunan fungsi aljabar.

 

 

Rumus Turunan Fungsi Al Jabar

Berikut ini adalah rumus – rumus turunana fungsi aljabar, diantaranya adalah.

 

1. Rumus Turunan Fungsi Pangkat

Turunana fungsi berbentuk pangkat, turunannya bisa menggunakna rumus:

Rumus Turunan Fungsi Pangkat

Sebagai Berikut:

rumus turunan fungsi aljabar pangkat

Sehingga, rumus turunan fungsi pangkatnya adalah:

turunan fungsi pangkat

 

2. Rumus Turunan Hasil Kali Fungsi

Rumus turunan hasil kali fungsi

Rumusan fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah seperti di bawah ini.

turunan fungsi aljabar hasil kali

Sehingga, rumus turunan fungsinya adalah,

f'(x) = u’v +uv’

 

3. Rumus Turunan Fungsi Pembagian

Rumus turunan fungsi pembagian

Rumus turunan fungsi pembagian-2

Sehingga, rumus turunan fungsinya adalah:

rumus turunan fungsi pembagian

 

4. Rumus Turunan Pangkat dari Fungsi

Rumus turunan pangkat dari fungsi

Perlu diingat, jika f(x) xn, maka,

turunan pangkat dari fungsi

Sehingga, rumus turunan fungsinya adalah,

f'(x) = nu(n – 1) . u’

 

 

Turunan Fungsi Aljabar

 

Definisi Turunan

Turunan fungsi f(x) kepada x didefinisikan,

Rumus Turunan Fungsi Pangkat

dengan syarat limitnya ada.

 

Notasi Turunan

Turunan pertama fungsi y =f(x) pada x bisa kita notasikan sebagai berikutm

  • y` = f`x => lagrange
  • notasi turunan => leibniz
  • Dxy = Dx[f(x)]⇒ euler

Dan definisi di atas bisa kita turunkan beberapa rumus turunan, seperti di bawah ini.

  1. f(x) = k ⇒ f ‘(x) = 0
  2. f(x) = k x ⇒ f ‘(x) = k
  3. f(x) = xn ⇒ f ‘(x) = nxn-1
  4. f(x) = k u(x) ⇒ f ‘(x) = k u'(x)
  5. f(x) = u(x) ± v(x) ⇒ f ‘(x) = u'(x) ± v'(x)

dengan k = konstan

Perhatikan beberapa contoh seperti di bawah ini,

  1. f(x) = 5 ⇒ f ‘(x) = 0
  2. f(x) = 2x ⇒ f ‘(x) = 2
  3. f(x) = x2 ⇒ f ‘(x) = 2×2-1 = 2x
  4. y = 2×4 ⇒ y’ = 2. 4×4-1 = 8×3
  5. y = 2×4 + x2 − 2x ⇒ y’ = 8×3 + 2x − 2

Untuk mencari turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pun pecahan, langkah pertama yang merubah terlebih dahulufungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen).. Berikut ini adalah beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan, antara lain.

Berikut ini adalah beberapa sifat akar serta pangkat yang sering digunakan, antara lain.

  • xm . xn = xm+n
  • xm/xn = xm-n
  • 1/xn = x-n
  • √x = x1/2
  • n√xm = xm/n

 

Contoh Soal

Soal 1.

Tentukan turunan dari f(x) x√x

Jawab:

f(x) = x√x = x. x1/2 = x3/2
f(x) = x3/2 →

contoh soal turunan

 

1. Turunan Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi

Contohnya saja y = uv, maka turunan dari y bisa dinyatakan seperti di bawah ini:

y’ = u’v + uv’

Misalkan y = u/v, maka turunan dari y bisa dinyatakan, sebagai berikut:

contoh soal turunan 2

 

Contoh Soal

Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x2 + 2), yaitu:

Jawab

u = 2x + 3 ⇒ u’ = 2
v = x2 + 2 ⇒ v’ = 2x

f ‘(x) = u’ v + u v’
f ‘(x) = 2(x2 + 2) + (2x + 3) 2x
f ‘(x) = 2×2 + 4 + 4×2 + 6x
f ‘(x) = 6×2 + 6x + 4

 

2. Aturan Rantai

Joka y = f(u), dengan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada z, maka turunan y terhadap x bisa dinyatakan dalam bentuk

turunan fungsi aljabar

Dari konsep aturan rantai di atas, maka untuk y = un, akan diperoleh,

turunan fungsi aljabar-2

Secara umu bisa dinyatakan seperti di bawah ini,

Jika f(x) = [u(x)]n dengan u(x) merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada x, maka:

f'(x) = n[u(x)]n-1 . u'(x)

 

Contoh Soal

Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)4

Jawab

u(x) = 2x + 1  ⇒  u'(x) = 2
n = 4
f ‘(x) = n[u(x)]n-1 . u'(x)
f ‘(x) = 4(2x + 1)4-1 . 2
f ‘(x) = 8(2x + 1)3

 

 

Turunan Trigonometri

Berdasarkan definisi dari turunan, maka bisa kita dapatkan beberapa rumus turunan trigonometri yakni sebagai berikut.

  • y = sin x→ y’ = cos x
  • y = cos x → y’ = -sin x
  • y = tan x → y’ = sec2 x
  • y = cot x → y’ =  -csc2 x
  • y = sec x → y’
  • y = csc x → y’ = csc × cot x
  • y = sinxy’ = n sinn-1 × cos x
  • y = cosx → y’ = -n cosn-1 × sin x
  • y = sin u → y’ = u’ cos u
  • y = cos u → y’ = u’ sin u
  • y = tan u → y’ = ui sec2 u
  • y = cot u → y’ = -u’ csc2 u
  • y = sec u → y’ = u’ sec u tan u
  • y = csc u → y’ = u’ csc u cot u
  • y = sinu → y’ = n.u’ sinn-1 cos u
  • y = cosn u → y’ = -n.u’  cosn-1 . sin u

 

Turunan Fungsi Trigonometri

  • d/dx ( sin x ) = cos x
  • d/dx ( cos x ) = – sin x
  • d/dx ( tan x ) = sec2 x
  • d/dx ( cot x ) = – csc2 x
  • d/dx ( sec x ) = sec x tan x
  • d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

 

 

Aplikasi Turunan

 

1. Menentukan Gradien Garis Singgung Suatu Kurva

Gradien garis singgung (m) di dalam sebuah kurva y = f(x) dirumuskan sebagai berikut:

m = y’ = f'(x)

Persamaan garis singgung dalam sebuah kurva y = F(x) di titik singgung (x1.y1) bisa dirumuskan seperti,

y – y = m(x – x1) → m = f'(x1)

 

2. Menentukan Interval Fungsi Naik dan Turun

  • Syarat interval fungsi naik → f’ (x) > 0.
  • Syarat interval fungsi turun → f’ (x) < 0.

 

3. Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi dan Jenisnya

Jika fungsi y = f(x) kontinu serta diferensiabel di x = a serta juga f`(x) = 0, maka fungsi memiliki nilai statisioner di x = a.

Jenis nilai stasioner dari  fungsi y = f(x) bisa berwujud nilai balik minimum, nilai balik maksimum, atau pun nilai belok. Jenis nilai stasioner bisa kita cari dengan menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut.

 

  • Nilai maksimum → f’ (x) = 0 dan → f” (x) < 0.

Jika f'(x) = 0 serta f’ (x) < 0, maka f'(x1), merupakan nilai balik maksimum dari fungsi y = f(x) dan titik (x1 f(x)) adalah titik balik maksimum dari kurva y = f(x).

 

  • Nilai minimum → f’ (x) = 0 dan → f” (x) > 0.

Jika f'(x) = 0 dan → f’ (x) > 0, maka f(x1merupakan nilai balik minimum dari fungsi  y = f (x) serta titik (x1 f(x)) merupakan titik balik minimum dari kurva y = f(x).

 

  • Nilai belok → f’ (x) = 0 dan → f” (x) = 0

Jika f'(x) = 0 serta f” (x) = 0, maka f'(x1) merupakan nilai belok dari fungsi y = f(x) serta titik (x1 f(x)) merupakan titik belok dari kurva y = f(x).

 

4. Menyelesaikan Soal Limit Berbentuk tak Tentu 0/0 atau ∞/∞

Jika

Menyelesaikan Soal Limit Berbentuk tak Tentu

Jika limit berbentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞ maka penyelesaiannya bisa dengan menggunakan turunan, yaitu f(x) serta g(x) masing-masing diturunkan.

Menyelesaikan Soal Limit Berbentuk tak Tentu-2

Jika dengan turunan pertama sudah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu merupakan cara penyelesaiannya. Tapi jika dengan menggunakan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing – masing f(x) dan juga f(x) diturunkan lagi sampai didapatkan hasil berbentuk tertentu.

Cara dari penyelesaian seperti itu disebut Dalil L’hopital.

 

5. Menentukan Rumus Kecepatan dan Percepatan

Jika rumus atau pun persamaan posisi gerak pada sebuah benda sebagai fungsi waktu diketahui yaitu s =f(t), maka rumus kecepatan dan kecepatannya bisa dicari, yaitu:

  • Rumus kecepatan → v = s’ = f’ (t)
  • Rumus percepatan → a = s’ = f” (t)

 

 

Nah, itulah sedikit penjelasan mengenai turunan matematika. Semoga artikel ini bisa membantu kalian dalam mengerjakan tugas, jika ada kesalahan dalam artikel ini mohon untuk dimaafkan dan dimaklumi.


Hasif Priyambudi Nothing Last Forever We Can Jump And Feeder #ProALUKERAD
DarkLight