Shinta Marist Penulis dan Penyunting di MasTekno, paling suka nonton anime khususnya one piece karakter paling di sukai yaitu luffy. Suka melakukan hal hal yang baru juga suka dengan dunia internet.

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel: Daerah Penyelesaian, Sistem, Contoh Soal

9 min read

persamaan linear

Dalam pelajaran matematika sering kita jumpai materi tentang sistem pertidaksamaan linear dua variable yang sering disingkat dengan SPLDV. Sistem tersebut memiliki pengertian sebagai sebuah kalimat terbuka yang ada pada matematika dan di dalamnya memuat dua buah variable.

Masing – masing variabel memiliki derajat satu dan juga dihubungkan dengan adanya tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah tanda – tanda yang sering ada pada matematika.

Contoh dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah seperti tulisan dibawah ini.

ax + by ≥ c

ax + by > c

ax + by ≤ c

ax + by < c

Kemudian apabila diterapkan pada bilangan atau dalam kalimat matematikanya maka bentuknya adalah seperti berikut ini.

5x – y < 10

6x + 5y > 12

Pertidaksamaan linear dua variabel bisa diselesaikan atau melewati proses penyelesaian dengan menggunakan hal berupa daerah penyelesaian. Dalam prakteknya di mata pelajaran, pertidaksamaan linear bisa berbentuk daerah yang diarsir atau bisa juga sebaliknya (bisa berupa daerah bersih).

Nah bagaimanakah cara menentukan daerah penyelesaiannya ? simak ulasannya berikut dibawah ini.

  • Yang pertama adalah kalian mengubah tanda dari ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu. Hal tersebut supaya kita bisa mendapatkan persamaan linear dua variabel.
  • Selanjutnya gambar dari grafik atau dari garis persamaann linear dua variabel. Cara menggambarnya adalah dengan menentukan terlebih dahulu titik potong sumbu x dan juga sumbu y dari persamaan tersebut.
  • Yang selanjutnya adalah melakukan uji titik yang mana telah dilewati oleh garis – garis ( substitusi nilai y dan juga x kepada titik pertidaksamaan ). Kemudian apabila sudah menghasilkan pernyataan yang aslinya benar maka memiliki arti bahwa daerah itu merupakan daerah penyelesaiannya.

Tetapi apabila hanya menghasilkan pernyataan salah maka bagian – bagian yang lainnya yang merupakan bagian penyelesaiannya.

Nah khusus di artikel kali ini saya akan menjelaskan tentang materi sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Yuk simak penjelasannya berikut dibawah ini.

 

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan linear memiliki pengertian sebagai pertidaksamaan yang posisi peubahnya bisa bebas berbentuk linear atau pangkat satu. Untuk lebih mengingatkan kembali pasti kalian masih ingat dengan beberapa kalimat matematika yang ada dibawah ini, simak baik – baik ya.

  • 2x – yy ≤ 5 artinya pertidaksamaan linear dua peubah
  • x ≥ 5y artinya pertidaksamaan linear satu peubah
  • 2x + 2y – 4z > 0 artinya pertidaksamaan linear tiga peubah
  • x + 3y < 0 artinya pertidaksamaan linear dua peubah

Nah khusus di pembahasan kali ini, mastekno akan membahas tentang pertidaksamaan linear yang memiliki dua peubah di dalamnya. Gabungan dari dua atau bisa juga lebih oleh pertidaksamaan linear dua peubah bisa juga disebut dengan sistem pertidaksamaan linear dua peubah.

Supaya kalian tidak penasaran berikut dibawah ini merupakan contoh dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah.

x ≥ 0,
y ≥ 0

2x + 6y ≥ 12,
x + y ≥ 4,

Baca Juga: Transformasi Geometri: Translasi, Refleksi, Dilatasi dan Rotasi.

 

Daerah Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Peubah

Yang pertama akan dibahas adalah tentang daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah. Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah memiliki pengertian sebagai pasangan berurut (x,y) yang mana di dalamnya memenuhi pertidaksamaan linear itu sendiri.

Himpunan penyelesaian yang ada dinyatakan dengan sebuah daerah yang ada pada kartesius di bidang XOY yang sudah diarsir. Dan supaya kita lebih bisa memahami daerah soal himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah, maka silahkan simak contohnya dibawah ini.

  • 5x – 2y > 10
  • 3x + 5y ≤ 15
  • 2x – 5y ≥ 20
  • 3x + 4y < 12

Pembahasannya ada dibawah ini.

1. 5x – 2y = 10

Pembahasannya adalah awalnya dilukis gari 5x – 2y = 10 dan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan juga sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X, y = 0 maka menjadi x = 2 ( titik 2,0 )

Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0 maka diperoleh ( titik 0,-5 )

Garis 5x – 2y = 10 tadi membagi bidang kartesius menjadi dua bagian yang ada. Dan supaya bisa menentukan daerah yang menjadi himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil sebuah titik uji dari salah satu sisi daerah yang ada. Contohnya adalah diambil titik ( 0,0 ) kemudian substitusikan maka hasilnya akan seperti berikut dibawah ini.

5 x 0 – 2 x 0 > 10

0 > 10 ( salah, artinya tidak dipenuhi )

Maka daerah penyelesaian yang di dapatkan adalah seperti dibawah ini.

soal pertidaksamaan linear dua variabel 1

2. 3x + 5y ≤ 15

Pembahasan yang selanjutnya adalah awalnya kita harus membuat dan juga melukis garis 3x + 5y = 15 terlebih dahulu dengan cara menghubungkan titik potong yang ada di garis sumbu x dan juga sumbu y.

Titik potong garis dengan sumbu X, y = o maka diperoleh x = 5 ( titik 5,0 )

Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0 maka diperoleh y = 3 ( titik 0,3 )

Garis 3x + 5y ≤ 15 membagi bidang kartesius sehingga terbagi menjadi dua bagian. Dan supaya bisa menentukan daerah yang berperan sebagai himpunan penyelesaian maka dilakukan dengan mengambil salha satu titik uji dari salah satu sisi daerah yang ada. Contohnya adalah mengambil titik ( 0,0 ) dan kemudian di substitusi ke pertidaksamaan sehingga bisa diperoleh persamaan seperti berikut.

3 x 0 + 5 x 0 ≤ 15

0 ≤ 15 ( benar, maka dipenuhi )

Daerah penyelesaiannya adalah seperti dibawah ini.

soal pertidaksamaan linear dua variabel 2

3. 2x – 5y ≥ 20

Pertama kita harus melukis garis 2x – 5y = 20 dengan cara menghubungkan titik potong dari garis yang ada di sumbu X dan juga sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X, y = 0 maka diperoleh x = 10 ( titik 10,0 )

Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0 maka diperoleh y = – 4 ( titik 0,-4 )

Garis 2x – 5y = 20 membagi kepada bidang kartesius untuk bisa menjadi dua bagian. Supaya bisa menentukan daerah yang masuk ke dalam himpunan penyelesaian maka harus dilakukan dengan mengambil titik uji dari salah satu sisi daerah yang ada. Contohnya adalah mengambil titik ( 0,0 ) kemudian di substitusi ke dalam pertidaksamaan sehingga bisa diperoleh persamaan seperti berikut.

2 x 0 – 5 x 0 ≥ 20

0 ≥ 20 ( salah, artinya tidak bisa dipenuhi )

Grafik yang digunakan untuk menggambarkan daerah penyelesaian diatas adalah sebagai berikut.

soal pertidaksamaan linear dua variabel 3

4. 3x + 4y < 12

Awal mula nya luskislah garis 3x + 4y = 12 dengan menggabungkan titik potong antara garis dengan sumbu X dan juga sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X, artinya adalah y = 0 maka diperoleh x = 4 ( titik 4,0 )

Titik potong garis dengan sumbu Y, artinya x = 0 maka diperoleh y = 3 ( titik 0,3 )

Garis 3x + 4y = 12 membagi bidang kartesius menjadi berbentuk dua bagian. Supaya bisa menentukan daerah yang masuk ke dalam himpunan penyelesaian maka dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji yang berasal dari salah satu sisi daerah yang ada. contohnya adalah mengambil titik ( 0,0 ) dan kemudian di substitusi kan maka mendapatkan persamaan seperti berikut dibawah ini.

3 x 0 + 4 x 0 < 12

0 < 12 ( benar, dipenuhi )

Maka grafik yang cocok untuk menggambarkan daerah penyelesaiannya adalah seperti dibawah ini.

soal pertidaksamaan linear dua variabel 4

Setelah kita membahas keempat contoh diatas maka bisa disimpulkan soal cara menentukan himpunan penyeleseaian pertidaksamaan linear dengan dua peubah itu bisa dilakukan dengan melakukan cara – cara seperti berikut dibawah ini.

  • Yang pertama harus dilakukan adalah melukis garis ax + by = c di dalam bidang kartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis yang ada pada sumbu X di titik ( c/a,0 ) dan juga di sumbu Y yang ada pada titik ( 0,c/b )
  • Setelah itu semua sudah selesai, kemudian selidiki suatu titik uji yang letaknya di luar garis dengan cara melakukan substitusi kepada persamaan. Apabila pertidaksamaan dipenuhi atau dalam artian benar maka daerah yang memuat titik yang dimaksud masuk ke dalam daerah himpunan penyelesaian dan apabila tidak dipenuhi atau salah maka daerah yang tidak memuat titik uji di dalamnya masuk ke dalam daerah himpunan penyelesaian.

 

Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

Pengertian dari himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah adalah sebagai suatu himpunan titik – titik atay pasangan berurut ( x,y ) pada bidang kartesius yang di dalamnya memenuhi seluruh pertidaksamaan linear yang ada di dalam sistem itu. Hal itu menyebabkan daerah himpunan penyelesaian masuk ke dalam irisan himpunan penyelesaian yang asalnya dari pertidaksamaan di dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah tersebut.

Supaya kalian lebih bisa memahaminya tentang apa itu daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah, maka kalian bisa memperhatikan dengan seksama dan dengan baik – baik contoh yang ada dibawah ini.

Contohnya adalah seperti kalimat matematika dibawah ini.

A. x + y ≤ 6

2x + 3y ≤ 12

x ≥ 1

y ≥ 2

 

B. 3x + 5y ≤ 15

X ≥ 0

y ≥ 0

Pembahasannya ada dibawah ini, simak baik – baik ya.

A. Awalnya kalian menggambar garis x + y = 6, maka 2x + 3y = 12, x = 1 dan y = 2.

Maka untuk x + y ≤ 6 kalian pilih titik ( 0,0 ) setelah itu di substitusikan ke dalam pertidaksamaan sehingga akan memperoleh persamaan seperti dibawah ini.

1 x 0 + 1 x 0 ≤ 6

0 ≤ 6 ( hasilnya benar, artinya dipenuhi )

Kesimpulannya adalah daerah penyelesaiannya didalamnya memuat titik ( 0,0 ) dan untuk 2x + 3y ≤ 12 kalian bisa pilih titik ( 0,0 ) lalu kalian substitusikan ke dalam pertidaksamaan maka didapatkan persamaan seperti dibawah ini.

2 x 0 + 3 x 0 ≤ 12

0 ≤ 12 ( hasilnya benar, artinya dipenuhi )

Jadi kesimpulannya adalah daerah penyelesaiannya merupakan daerah yang memuat titik ( 0,0 )

Nah untuk x ≥ 1 kalian piliih titik ( 2,1 ) lalu di substitusi ke dalam pertidaksamaan sehingga akan memperoleh 2 ≥ 1 yang artinya adalah benar dan dipenuhi. Maka kesimpulannya adalah daerah penyelesaian yang dimiliki merupakan daerah yang di dalamnya memuat titik ( 2,1 ).

Dan untuk y ≥ 2, kalian bisa memilih titik ( 1,3 ) lalu di substitusikan ke dalam pertidaksamaan sehingga bisa didapatkan 3 ≥ 2 ( artinya benar dan dipenuhi ), maka himpunan penyelesaian nya adalah daerah yang didalamnya memuat titik ( 1,3 ).

soal pertidaksamaan linear dua variabel 6

Daerah dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang dimaksudkan diatas merupakan irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang sudah dibahas diatas, yang mana terlihat pada gambar disamping yaitu daerah yang diarsir.

 

B. Awalnya kita bisa menggambar garis 3x + 5y = 15, x = 0, dan juga y = 0

Selanjutnya untuk 3x + 5y ≤ 15

Kalian bisa memilih ( 0,0 ) lalu kalian substitusikan ke dalam pertidaksamaan sehingga bisa diperolah hasil seperti berikut dibawah ini.

3 x 0 + 5 x 0 ≤ 15

0 ≤ 15 ( artinya adalah benar, dipenuhi )

Jadi untuk daerah penyelesaiannya adalah daerah yang di dalamnya memuat titik ( 0,0 ) dan untuk x ≥ 0 kalian bisa pilih titik ( 1,1 ) lalu kalian bisa substitusikan ke dalam pertidaksamaan sehingga akan diperoleh hasil 1 ≥ 0 ( benar dan dipenuhi ). Kesimpulannya adalah himpunan penyelesaian merupakan daerah yang di dalamnya memuat soal titik ( 1,1 ).

Daerah dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang dimaksudkan diatas merupakan irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang sudah dibahas diatas, yang mana terlihat pada gambar disamping yaitu daerah yang diarsir.

soal pertidaksamaan linear dua variabel 5

Daerah dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang dimaksudkan diatas merupakan irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang sudah dibahas diatas, yang mana terlihat pada gambar disamping yaitu daerah yang diarsir.

Baca Juga: Neraca Saldo: Pengertian, Fungsi, Tujuan, Manfaat, Contoh Soal.

 

Menentukan Sistem Pertidaksamaan Jika Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Pubah Diketahui

Cara menentukan daerah himpunan dari penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua peubah sudah kita bahas di bab sebelumnya. Masuk ke pembahasan yang terakhir yaitu tentang cara menentukan sistem pertidaksamaan apabila daerah himpunan penyelesaiannya yang diketahui ? untuk lebih jelasnya silahkan simak penjelasannya berikut dibawah ini.

A. soal pertidaksamaan linear dua variabel 7

B.

soal pertidaksamaan linear dua variabel 8

Gambar diatas merupakan contoh daerah yang diarsir termasuk ke dalam daerah himpunan penyelesaian dari sebuah sistem pertidaksamaan linear dua peubah yang ada. kemudian kalian bisa menentukan sistem pertidaksamaannya berikut dibawah ini.

Penyelesaiannya.

  • Garis 1i itu melalui titik ( 2,0 ) dan juga ( 0,2 ) sehingga perasamaan dari garis 1i adalah sebagai berikut.

x/2 + y/2 = 1 berubah menjadi x + y = 2

kemudian garis 1ii melewati titik ( 1,0 ) dan juga ( 0,2 ) maka menjadikan persamaan dari garis 1ii adalah sebagai berikut.

x + y ≤ 2, 2x + y ≥ 2, x ≥ 0, dan yang terakhir y ≥ 0

Kemudian garis 1i melewati titik ( 4,0 ) dan juga ( 0,4 ) maka persamaan garis 1i adalah seperti berikut

x/4 + y/4 = 1 sehingga menjadi x+y = 4

Garis 1ii melewati titik ( 2,0 ) dan juga ( 0,-1 ) maka persamaan garis 1ii adalah sebagai berikut.

Dari gambar terlihat dengan jelas bahwa daerah himpunan penyelesaian yang ada ( yang diarsir ) ada di bawah garis 1i, kemudian diatas garis 1ii, di kanan sumbu Y, dan di atas sumbu X maka sistem pertidaksamaan yang dihasilkan adalah sebagai berikut.

x + y ≤ 4, x – 2y ≤ 2, x ≥ 0, dan y ≥ 0

 

Demikian artikel tentang Pertidaksamaan Linear Dua Variabel: Daerah Penyelesaian, Sistem, Contoh Soal semoga bisa bermanfaat dan bisa menambah wawasan pengetahuan kita semua khususnya di dalam bidang matematika bab sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Apabila ada hal yang masih kurang jelas atau ada yang ingin ditanyakan silahkan bertanya dikolom komentar yang sudah disediakan dibawah ini ya sobat.


Shinta Marist Penulis dan Penyunting di MasTekno, paling suka nonton anime khususnya one piece karakter paling di sukai yaitu luffy. Suka melakukan hal hal yang baru juga suka dengan dunia internet.
DarkLight